"Das espirais"

E um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência. Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.
Seja E a Espiral de Arquimedes e seja t a recta tangente a E no ponto P. Seja a o ângulo formado entre a recta t e o eixo ordenado das abcissas, a que se chama inclinação da recta t. Então, tg(a) é o declive da recta t e simultaneamente a derivada da função que define E no ponto P.
Note-se que só muito mais tarde surgiu a noção de derivada. Mesmo assim, Arquimedes resolveu problema da tangente num ponto da sua espiral e , ao fazê-lo, aproximou-se bastante da noção de derivada. É pois legítimo considerá-lo como o percursor do cálculo diferencial.
Inspirado na espiral, Arquimedes inventou o parafuso sem-fim e o parafuso de Arquimedes.
O parafuso sem-fim, aplicado desde a antiguidade, ainda agora tem as mais variadas aplicações nas máquinas modernas.
O parafuso de Arquimedes era utilizado na extração da água das minas e dos poços.