A vida de Arquimedes

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Nascido em Siracusa-Sicília, em 287 a.C, seu nome é originário do grego Arkhimedes, Arquimedes permaneceu em Alexandria durante toda a idade Helenística, o centro da atividade matemática. Conhecendo-se poucos fatos de sua vida, tem-se a informação tirada da narração de Plutarco da Vida de Marcelo, general romano, e menciona-o apenas no decurso da biografia do mesmo, no qual se refere as passagens relativas à luta travada pelos romanos para a posse da Sicília, especialmente para a conquista da cidade de Siracusa.
Assim também, escasseiam as fontes históricas no que diz respeito à mocidade de Arquimedes. Porém, sabe-se que era filho de uma ilustre família de Siracusa, seu pai, o astrônomo Feidias, parente de Hierão, proporcionou-lhe uma educação de qualidade superior, enviando-o ao Egito com recursos suficientes para que ali a completasse. Em Alexandria, que se tornará um centro de intensa cultura, freqüentou o jovem Siciliano as lições dos ilustres sucessores de Euclides (mas Arquimedes não chegou a conhece-lo, pois quando foi para Alexandria, Euclides já havia falecido) e estudou sob a direção dos matemáticos Cônom de Samos, Dositeu de Pelusa e Erastóstenes, aos quais mais tarde dedicou várias de suas obras.
Contudo permaneceu algum tempo em sua cidade natal, voltando porém, ao Egito por ter sido encarregado de vultosos trabalhos, em cuja execução revelou profunda capacidade técnica.

Suas Contribuições

Ao analisar a vasta obra de Arquimedes, fica-se perplexo com a sua surpreendente atualidade. Se imaginássemos um encontro de Arquimedes com, por exemplo, Newton, Poincaré ou Einstein, constataríamos que eles se entenderiam perfeitamente. Como afirma Sérgio Macias Marques, em Galeria de Matemáticos do JME, "se os cientistas da Grécia antiga tivessem seguido Arquimedes de preferência a Euclides, Platão e Aristóteles, eles teriam certamente antecipado de dois mil anos a era da Matemática Moderna, que começou com Descartes, e da física moderna, iniciada por Galileu".
A obra de Arquimedes revela características próprias e originais, ressaltando dela todo um perfil de um investigador; os seus escritos são verdadeiras memórias científicas, onde existem intervenções eficazes em todos os campos da matemática grega e em todos os domínios como a Astronomia e como a Física.

"Da esfera e do cilindro"

•É um dos mais belos escritos de Arquimedes. Entre os seus resultados, conte-se o cálculo da área lateral do cone e do cilindro. Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.

"Das espirais"

E um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência. Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.
Seja E a Espiral de Arquimedes e seja t a recta tangente a E no ponto P. Seja a o ângulo formado entre a recta t e o eixo ordenado das abcissas, a que se chama inclinação da recta t. Então, tg(a) é o declive da recta t e simultaneamente a derivada da função que define E no ponto P.
Note-se que só muito mais tarde surgiu a noção de derivada. Mesmo assim, Arquimedes resolveu problema da tangente num ponto da sua espiral e , ao fazê-lo, aproximou-se bastante da noção de derivada. É pois legítimo considerá-lo como o percursor do cálculo diferencial.
Inspirado na espiral, Arquimedes inventou o parafuso sem-fim e o parafuso de Arquimedes.
O parafuso sem-fim, aplicado desde a antiguidade, ainda agora tem as mais variadas aplicações nas máquinas modernas.
O parafuso de Arquimedes era utilizado na extração da água das minas e dos poços.

"Dos conóides e dos esferóides"

•É a respeito dos sólidos que hoje designamos por elipsóide de revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução. Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.

"Da medida do círculo"

Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Arquimedes. Com uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo. Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

"Quadratura da Parábola"

Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola. Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.
Tradicionalmente, a geometria grega vinha investigando processos de transformação de figuras curvas em retas, equivalentes. A quadratura do círculo, por exemplo, constituía um problema que vários matemáticos procuraram resolver. Arquimedes dedicou-se profundamente a esse tipo de questão - e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se justamente Tratado da quadratura da parábola.
A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por Arquimedes através do chamado método "de exaustão". Se um triângulo é inscrito num círculo, sua área é tão claramente menor que a do círculo quanto a do triângulo circunscrito é maior. No entanto - eis o procedimento adotado por Arquirnedes - multiplicando-se o número de lados dessas figuras, as áreas dos polígonos formados, inscritos e circunscritos, já se aproximam mais da área do círculo. E com o multiplicar sucessivo dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem (para os inscritos) e diminuem (para os circunscritos), aproximando-se da do círculo, embora nunca coincidam com ela.
Arquimedes conseguiu ir multiplicando o número de lados dos polígonos até obter figuras de 96 lados; verificou que as áreas respectivas, apesar de cada vez mais próximas do círculo, eram sempre um pouco maiores ou um pouco menores. Havia aqui também um procedimento que subentendia a aproximação de um valor exato - a área do círculo; esta era um "limite" a ser atingido, uma "justa medida" que só permitia abordagens aproximadas. Arquimedes provou, entre muitos outros resultados geométricos, que o volume de uma esfera é de dois terços do volume de um cilindro circunscrito. Seu fascínio pela Geometria é lindamente descrito por Plutarco.

"O Arenário"

Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.
O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x1016 (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo.

"Do equilíbrio dos planos"

É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.
Demonstrou que um pequeno peso situado a uma certa distância do ponto de apoio da alavanca pode contrabalançar um peso maior situado mais perto, sendo assim peso e distância inversamente proporcionais. O principio da alavanca explica por que um grande bloco de pedra pode ser levantado por um pé de cabra.

"Dos corpos flutuantes"

Hierão pediu ao seu brilhante amigo para determinar se uma coroa, que havia acabado de receber do ourives, era realmente de ouro, como deveria ser, ou se tratava de uma liga de prata.
Arquimedes foi intimado a realizar suas determinações sem estragar a coroa.

O físico não atinava como proceder até que um belo dia, entrando em uma banheira cheia, notou que a água transbordava. Repentinamente ocorreu-lhe que a quantidade de água transbordada era igual em volume à parte do corpo nela mergulhada. Raciocinou então que, se mergulhasse a coroa na água, poderia determinar seu volume pela subida do liquido. Poderia mais ainda: comparar este dado com o volume de um pedaço de ouro de igual peso. Se os volumes fossem iguais, a coroa seria de ouro puro. Se a coroa fosse feita de uma liga de prata (mais volumosa que o ouro), teria um volume maior.

Excitado ao mais alto grau pela sua descoberta do princípio de flutuabilidade, Arquimedes pulou para fora da banheira, e, completamente nu, correu pelas ruas de Siracusa até o palácio real aos gritos de Achei! Achei! (É preciso salientar que a nudez não perturbava tanto os gregos quanto a nós).
Como Arquimedes falava grego, o que disse foi Eureka! Eureka! Esta expressão é usada desde então como exclamação apropriada ao prenúncio de uma descoberta. (A conclusão da história é de que a coroa incluía certa percentagem de prata, tendo sido o ourives executado).

"O Stomachion"

É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série de peças poligonais que completam um retângulo.

"O problema dos bois"

É um problema de teoria dos números, que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos.

"Espelhos Ustórios"

Atribui-se ainda a Arquimedes a idealização dos célebres "espelhos ustórios" (ustório = que queima, que facilita a combustão), espelhos curvos com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado a distância - pela concentração dos raios solares - os navios romanos que sitiavam a região.

As mortes de Arquimedes

Se tratando da morte de Arquimedes, pode-se citar de diversas maneiras, pois ninguém sabe ao certo como foi que ele morreu. Nos itens seguintes, veremos quatro versões de sua morte.

Primeira versão

"Os soldados foram desenfreados pilhar a cidade [...]. O exército apropriou-se das riquezas e dos escravos [...]. O tesouro real reverteu para o Estado romano. Acontece que Arquimedes estava sozinho em sua casa e refletia numa figura de geometria, com o espírito e os olhos absorvidos [...]. Não se apercebera da tomada da cidade. Subitamente apareceu um soldado que lhe ordenou que o seguisse até Marcelo. Ele não quis sair sem resolver o seu problema [...]. O soldado, irritado, tirou a sua espada e matou-o [...]." (cit. in Serres (1989): 143).

Segunda versão

"Outros dizem que o romano, armado com uma espada, se apresentou com a intenção de o matar imediatamente, que Arquimedes ao vê-lo, lhe rogou, lhe suplicou que esperasse um instante, a fim de não deixar a sua investigação inacabada e insuficientemente aprofundada, e que o soldado, sem olhar ao seu pedido, o degolou." (cit. in Serres (1989): 142).

Terceira versão

"Segundo uma terceira versão, Arquimedes levava a Marcelo, numa caixa, os seus instrumentos de cosmografia, quadrantes solares, esferas, esquadros, que permitiam representar aos olhos a grandeza do Sol. Foi encontrado por soldados; julgaram que ele transportava ouro e mataram-no." (cit. in Senes (1989):142).

Quarta versão

"Tomadas também estas, na mesma manhã marchou Marcelo para os Hexápilos, dando-lhe parabéns todos os chefes que estavam às suas ordens; mas dele mesmo se diz que ao ver e registrar do alto a grandeza e beleza de semelhante cidade, derramou muitas lágrimas, compadecendo-se do que iria acontecer... os soldados que haviam pedido se lhes concedesse o direito ao saque... e que fosse incendiada e destruída. Em nada disso consentiu Marcelo e, só por força e com repugnância, condescendeu em que se aproveitassem dos bens e dos escravos... mandando expressamente que não se desse morte, nem se fizesse violência, nem se escravizasse nenhum dos siracusanos... Mas, o que principalmente afligiu a Marcelo foi o que ocorreu com Arquimedes: encontrava-se este, casualmente, entregue ao exame de certa figura matemática e, fixo nela seu espírito e sua vista, não percebeu a invasão dos romanos, nem a conquista da cidade. Apresentou­-se-lhe repentinamente um soldado, dando-lhe ordem de que o acompanhasse à casa de Marcelo; ele, porém, não quis ir antes de resolver o problema e chegar até a demonstração; com o que, irritado, o soldado desembainhou a espada e matou-o... Marcelo o sentiu muito e ordenou ao soldado assassino que se retirasse de sua presença como abominável, e mandando buscar os parentes do sábio, tratou-os com o maior apreço e distinção".(cit in Serres (1989): 149).